🫏 Diketahui Segitiga Abc Dengan Garis Tinggi Ad Seperti Gambar Berikut

MisalkanABC adalah segitiga sembarang dengan panjang AB, BC dan AC masing-masing adalah c satuan, a satuan dan b satuan. Garia AE, BF dan CD masing-masing adalah garis tinggi segitiga ABC yang dibentuk dari A, B dan C. Perhatikan! a. Segitiga siku-siku ACD dengan AD ⊥ CD. Maka dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa: Diketahuisegitiga ABC dengan garis tinggi AD seperti gambar berikut. Jika ZBAC = 90°, AB = 4 cm, AC = 3 cm, dan BC = 5 cm, tentukan a. luas segitiga ABC; - 50942266 Pembahasan Pertama, gambarkan dahulu bangun baloknya. Berdasarkan gambar, jarak antara garis PQ dan bidang ORSV sama dengan panjang balok itu sendiri, yaitu 25 cm. Jadi, jarak antara garis PQ dan bidang ORSV adalah 25 cm. 6. Contoh soal dimensi tiga UTBK SBMPTN. Adapun contoh soal geometri ruang pada UTBK SBMPTN adalah sebagai berikut. Dalamsegitiga, terdapat beberapa garis-garis istimewa, di antaranya sebagai berikut: Garis berat, yaitu garis yang ditarik dari titik sudut ke pertengahan sisi di hadapannya. Ketiga garis berat melalui satu titik yang disebut titik berat. Titik berat membagi masing-masing garis berat dengan perbandingan 2 : 1. Garis Berat Segitiga. Perhatikangambar berikut! Diketahui segitiga dengan panjang AB = 3 cm dan BC = 6 cm. Jika garis berat AD, garis bagi BE, dan garis tinggi CF Untukmenghitung jumlah sudut pada segitiga, kerjakanlah tugas berikut. TUGAS SISWA 1. Buat gambar 'ABC pada selembar kertas polos Gambar a. 2. Gunting sudut-sudut segitiga itu menurut garis putus-putus seperti Gambar b. 3. Susunlah ketiga sudut itu sehingga bersisian satu dengan yang lain, seperti Gambar c. A B C A C A B C (a) (b) (c) Pertanyaan: . Contoh Soal 3. Diketahui segitiga ABC dengan garis tinggi AD seperti gambar berikut. Jika ∠BAC = 90°, AB = 4 cm, AC = 3 cm, dan BC = 5 cm, tentukan a. luas segitiga ABC; b. panjang AD. Jawab a. Karena ∠BAC = 90° salah satu kaki sudutnya bisa dijadikan tinggi atau alas, maka = ½ x alas x tinggi = ½ x AB x AC = ½ x 4 cm x 3 cm = 6 cm2 b. panjang AD dapat dicari dengan konsep luas segitiga yaitu = ½ x alas x tinggi = ½ x BC x AD 6 cm2 = ½ x 5 cm x AD AD = 6 cm2/2,5 cm AD = 2,4 cm Soal 5. Perhatikan gambar berikut. Hitunglah a. luas segitiga ABD; b. luas segitiga BCD; c. luas bangun ABCD. Jawab a. Luas segitiga ABD dapat dicari dengan persamaan = ½ x alas x tinggi = ½ x AB x DE = ½ x 14 cm x 9 cm = 63 cm2 b. Luas segitiga BCD dapat dicari dengan persamaan = ½ x alas x tinggi = ½ x CD x DE = ½ x 24 cm x 9 cm = 108 cm2 c. Luas bangun ABCD dapat dicari dengan persamaan = + = 63 cm2 + 108 cm2 = 171 cm2 Contoh Soal dan Pembahasan Segitiga Lengkap Contoh soal 1 Perhatikan gambar berikut! Tentukan nilai x dan besar sudut A pada segitiga diatas ! Pembahasan 180º = ∠A+∠B+∠C 180º = 3x + 10° + x + 15° + 35° 180º = 4x + 60° 4x=180°-60° 4x = 120° x = 120°/4 x = 30° Besar ∠A = 3x + 10° ∠A = 330° + 10° ∠A = 90° + 10° = 100° Contoh soal 2 Perhatikan gambar berikut! Tentukan luas dari a. ΔACD b. ΔBCD c. ΔABD Pembahasan a. ΔACD Perhatikan gambar dibawah, daerah yang berwarna kuning adalah segitiga ACD Berdasarkan gambar diketahui Panjang alasnya = AC = 4 cm Tingginya = AD = 10 cm L ΔACD = ½ × AC × AD L ΔACD = ½ × 4 × 10 L ΔACD = 20 cm² b. ΔBCD Daerah yang berwarna biru pada gambar diatas adalah segitiga BCD Berdasarkan gambar diketahui Panjang alasnya = BC = 4 cm Tingginya = AD = 10 cm tingginya tetap AD, karena tinggi segitiga adalah garis yang tegak lurus dengan alasnya L ΔBCD = ½ × BC × AD L ΔBCD = ½ × 8 × 10 L ΔBCD = 40 cm² c. ΔABD Daerah yang berwarna hijau pada gambar dibawah adalah segitiga ABD Berdasarkan gambar diketahui Panjang alasnya = AB = 8 + 4 = 12 cm Tingginya = AD = 10 cm L ΔBCD = ½ × AB × AD L ΔBCD = ½ × 12 × 10 L ΔBCD = 60 cm² Contoh soal 3 Tentukan panjang CD dan luas segitiga ABC pada gambar berikut! Pembahasan a. Panjang CD menggunakan rumus Phytagoras b. Luas ΔABC Panjang alasnya = AB = 12 cm Tinggi = CD = 10 cm L ΔBCD = ½ × AB × CD L ΔBCD = ½ × 12 × 12 L ΔBCD = 72 cm² Contoh soal 4 Hitunglah panjang EG pada gambar berikut! Pembahasan Agar dapat mengitung panjang EG terlebih dahulu kita harus mengetahui panjang EF. Panjang EF pada ΔDEF dapat dicari dengan teorema Phytagoras Panjang EG pada ΔEFG Contoh soal 5 Sebuah segitiga sama kaki mempunyai keliling 98 cm, jika panjang alasnya 24 cm, hitung luas segitiga tersebut! Pembahasan Diketahui Panjang alas = 24 cm keliling = 98 cm keliling = sisi1 + sisi2 + alas 98 cm = sisi1 + sisi2 + 24 cm Sisi1 + sisi2 = 98 – 24 = 74 cm ingat, dalam segitiga sama kaki sisi1 = sisi2 Maka sisi 1 = sisi 2 = 74/2 = 37 cm. Untuk mencari luas segitiga, kita harus mengetahui tinggi dari segitiga tersebut. Tinggi segitiga dapat dicari menggunakan rumus Phytagoras dengan sisi 1 atau sisi 2 sebagai sisi miring 37 cm, dan alasnya yaitu ½ alas segitiga tersebut 24/2 = 12 cm tinggi segitiga tersebut adalah 35cm Sehingga luasnya adalah L = L = ½×24×35 L = 420 cm² Contoh soal 6 Tentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga dari gambar berikut! Diketahui AC tegak lurus dengan AB. Pembahasan s = ½ keliling Δ = ½7+24+25 = 28 Luas segitiga L = ½ × AB × AC L = ½ × 7 × 24 = 84 cm² Jari-jari lingkaran dalam segitiga r = L/s =8 4/28 = 3 cm Contoh soal 7 Perhatikan gambar berikut! Tentukan jari-jari lingkaran luar segitiga dari gambar diatas! Pembahasan s = ½ keliling Δ = ½12+16+20 = 24 Luas segitiga segitiga tersebut adalah segitiga sembarang, karena tingginya tidak diketahui maka kita hitung luasnya dengan teorema Heron Jari-jari lingkaran luar segitiga Contoh soal 8 Berdasarkan gambar pada contoh soal 7, hitunglah selisih keliling segitiga dan keliling lingkaran tersebut! Pembahasan Keliling Δ = s1 + s2 + s3 = 12 + 16 + 20 = 48 cm Keliling ⨀ = 2 π r = 2 × 3,14 × 9,62 = 60,41 cm Selisih = Keliling ⨀ – Keliling Δ = 60,41 – 48 = 12,41 cm PertanyaanDiketahui segitiga ABC dengan garis tinggi AD seperti gambar berikut. Jika âˆ BAC = 9 0 âˆ˜ , AB = 4 cm , AC = 3 cm , dan BC = 5 cm , tentukan a. luas segitiga ABC; b. panjang segitiga ABC dengan garis tinggi AD seperti gambar berikut. Jika , , , dan , tentukan a. luas segitiga ABC; b. panjang AD. IKI. KumaralalitaMaster TeacherMahasiswa/Alumni Universitas Gadjah MadaPembahasanDiberikan segitiga dengan , , dan . Luas segitiga tersebut adalah Diketahui pulagaris tinggi membagi sudut A dan tegak lurus dengan garis .Panjang dapat menjadi alas segitiga dengan sisi sebagai tingginya, maka Jadi, luas adalah dan panjang sisi adalah .Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher di sesi Live Teaching, GRATIS!1rb+Yuk, beri rating untuk berterima kasih pada penjawab soal!eervian Pembahasan terpotongSASyarah AraraMakasih â¤ï¸ Blog Koma - Sebelumnya telah dibahas mengenai "panjang garis-garis istimewa pada segitiga" yang tanpa disertai dengan contoh soal ataupun pembuktiaanya. Pada artikel Panjang Garis Tinggi pada Segitiga dan Pembuktiannya ini kita akan lebih menekankan lagi contoh-contoh soalnya dan tentu pembuktian rumus-rumus yang digunakan. Menentukan Panjang Garis Tinggi pada Segitiga Garis tinggi sebuah segitiga adalah garis yang melalui sebuah titik sudut segitiga dan tegak lurus pada sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut. perhatikan gambar garis tinggi berikut, Dalil-dalil yang berlaku pada garis tinggi segitiga yaitu 1. Ketiga garis tinggi berpotongan pada satu titik titik O yang disebut dengan titik tinggi. 2. Pada segitiga siku-siku, garis tinggi ke hipotenusanya sisi terpanjang membagi segitiga siku-siku menjadi dua segitiga yang sebangun dan juga sebangun dengan segitiga awalnya ketiga segitiga yang ada sebangun seperti gambar berikut ini, $\Delta$ABC sebangun dengan $\Delta$ABD sebangun dengan $\Delta$CBD. 3. Menentukan panjang garis tinggi pada segitiga Untuk menentukan panjang garis tinggi, kita gunakan Dalil Proyeksi. Ada dua jenis yaitu . Dali proyeksi segitiga lancip, Kita proyeksikan garis CA pada garis BC, hasil proyeksinya adalah garis CD seperti gambar berikut. Misalkan panjang $ CD = p \, $ , panjang $ p $ bisa ditentukan dengan rumus $ \, c^2 = a^2 + b^2 - 2ap $ Misalkan panjang $ BD = k \, $ , panjang $ k $ bisa ditentukan dengan rumus $ \, b^2 = a^2 + c^2 - 2ak $ . Dali proyeksi segitiga tumpul, Kita proyeksikan garis CA pada garis BC, hasil proyeksinya adalah garis CD seperti gambar berikut. Misalkan panjang $ BD = p \, $ , panjang $ p $ bisa ditentukan dengan rumus $ \, c^2 = a^2 + b^2 + 2ap $ Catatan i. Setelah ketemu pajang $ p \, $ , bari kita akan menentukan tinggi segitiganya dengan pythagoras. Artinya kita tidak bisa langsung dapat menentukan tinggi segitiganya, tapi bertahap. ii. Ada cara lain sehingga tinggi segitiga bisa langsung kita temukan tanpa menjari $ p \, $ terlebih dahulu yaitu menggunakan konsep luas segitiga. Menentukan Panjang Garis Tinggi dengan Luas Segitiga . Luas segitiga Menggunakan rumus Heron. Misalkan diketahui sisi-sisi segitiga yaitu $a, \, b, \, $ dan $ \, c $. $ s = \frac{1}{2}a+b+c $ $ \text{Luas } \Delta = \sqrt{ss-as-bs-c} $. Untuk pembuktian rumus Heron ini, silahkan baca pada "Penerapan Trigonometri pada Segitiga Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga". . Menentukan panjang garis tinggi, Perhatikan gambar berikut, Garis tingginya adalah garis AF, BD, dan CE. $ \begin{align} AF = t_a & = \frac{2}{a} \sqrt{ss-as-bs-c} \\ BD = t_b & = \frac{2}{b} \sqrt{ss-as-bs-c} \\ CE = t_c & = \frac{2}{c} \sqrt{ss-as-bs-c} \end{align} $ Contoh soal garis tinggi pada segitiga 1. Sebuah segitiga ABC dengan AB = 5 cm, BC = 6 cm, dan AC = 7 cm. AD adalah garis tinggi segitga ABC, tentukan panjang AD dan luas segitiga ABC. Penyelesaian Cara I Menggunakan dalil Proyeksi, . Menentukan nilai $ p $, $ \begin{align} c^2 & = a^2 + b^2 - 2ap \\ 5^2 & = 6^2 + 7^2 - \\ 25 & = 36 + 49 - 12p \\ 25 & = 36 + 49 - 12p \\ 12p & = 60 \\ p & = 5 \end{align} $ . Menentukan panjang AD dengan pythagoras segitiga ADC $ \begin{align} AC^2 & = AD^2 + DC^2 \\ 7^2 & = AD^2 + 5^2 \\ 49 & = AD^2 + 25 \\ AD^2 & = 24 \\ AD & = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \end{align} $ Sehingga panjang garis tinggi $ AD = 2 \sqrt{6} \, $ cm. . Menentukan Luas segitiga ABC. Luas ABC $ = \frac{1}{2}. a . t = \frac{1}{2}.6 . 2 \sqrt{6} = 6 \sqrt{6} $. Jadi, luas segitiga ABC adalah $ \, 6 \sqrt{6} \, $ cm$^2$. Cara II Menggunakan luas segitiga, . Diketahui $ a = 6, b = 7 , c = 5 $. $ s = \frac{1}{2}a+b+c = \frac{1}{2}6 + 7 + 5 = \frac{1}{2}.18 = 9 $. . Menentukan panjang AD dengan luas segitiga $ \begin{align} AD = t_a & = \frac{2}{a} \sqrt{ss-as-bs-c} \\ & = \frac{2}{6} \sqrt{99-69-79-5} \\ & = \frac{1}{3} \sqrt{ \\ & = \frac{1}{3} \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $ Sehingga panjang garis tinggi $ AD = 2 \sqrt{6} \, $ cm. . Luas segitiga menggunakan rumus Heron $ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \sqrt{ss-as-bs-c} \\ & = \sqrt{99-69-79-5} \\ & = \sqrt{ \\ & = \\ & = 6 \sqrt{6} \end{align} $ Jadi, luas segitiga ABC adalah $ \, 6 \sqrt{6} \, $ cm$^2$. Bagaimana dengan kedua cara di atas, lebih mudah mana, cara I atau cara II. Cara II rumus Heron akan mudah kalau panjang semua sisi segitiganya berupa bilangan bulat, dan akan sulit jika salah satu panjang sisi segitiganya dalam bentuk akar. Ini artinya mudah atau tidaknya bersifat relatif. 2. Diketahui persegi panjang ABCD dengan AB = 8 cm dan BC = 6 cm. Titik M dan N terletak pada AC sedemikian sehingga DM dan BN tegak lurus pada AC. Tentukan panjang MN? Penyelesaian . Gambar persegi panjangnya. Segitiga ADC siku-siku di D sehingga dengan pythagoras kita peroleh AC = 10 cm. Garis DM adalah garis tinggi pada segitiga ADC sehingga bisa kita terapkan dalil proyeksi. . Menentukan panjang AM pada gambar b $ \begin{align} CD^2 & = AD^2 + AC^2 - . AM \\ 8^2 & = 6^2 + 10^2 - 2. 10 . AM \\ 64 & = 36 + 100 - 20. AM \\ AM & = 3,6 \end{align} $ Karena panjang AM = CN, sehingga CN = 3,6 juga. . Menentukan panjang MN $ \begin{align} MN & = AC - AM + CN \\ & = 10 - 3,6 + 3,6 \\ & = 10 - 7,2 \\ & = 2,8 \end{align} $ Jadi, panjang AM = 2,8 cm. 3. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini, Diketahui panjang BC = 12 cm, AD = 30 cm , AC = 15 cm. Tentukan panjang garis tinggi BE. Penyelesaian . Kita gunakan luas segitiga Luas $ = \frac{1}{2}. $ \begin{align} \text{Luas segitiga ABC dengan alas AC} & = \text{Luas segitiga ABC dengan alas BC} \\ \frac{1}{2}. AC . BE & = \frac{1}{2}.BC . AD \\ AC . BE & = BC . AD \\ 15 . BE & = 12 \times 30 \\ BE & = \frac{12 \times 30}{15} \\ BE & = 24 \end{align} $ Jadi, panjang garis tinggi BE = 24 cm. 4. Sebuah segitiga ABC dengan AB = 5 cm, BC = 7 cm, dan AC = 6 cm. Garis tinggi AD dan BE berpotongan di titik O. Tentukan perbandingan panjang AOOD dan perbandingan BO OE. Penyelesaian . Untuk menjawab soal ini, kita menggunakan garis tinggi dalil proyeksi dan dalil Menelaus. . Dalil proyeksi untuk garis tinggi AD dan BE. garis tinggi AD $ \begin{align} AC^2 & = AB^2 + BC^2 - 2 . BC . BD \\ 6^2 & = 5^2 + 7^2 - 2 . 7 . BD \\ 36 & = 25 + 49 - 14. BD \\ 36 & = 25 + 49 - 14. BD \\ 14BD & = 38 \\ BD & = \frac{38}{14} = \frac{19}{7} \end{align} $ Sehingga panjang $ DC = 7 - BD = 7 - \frac{19}{7} = \frac{30}{7} $. garis tinggi BE $ \begin{align} BC^2 & = AB^2 + AC^2 - 2 . AC . AE \\ 7^2 & = 5^2 + 6^2 - 2 . 6 . AE \\ 49 & = 25 + 36 - 12. AE \\ AE & = 1 \end{align} $ Sehingga panjang $ CE = 6 - AE = 6 - 1 = 5 $. . Dalil Menelaus untuk perbandingan garis, Perbandingan AO OD, $ \begin{align} \frac{DO}{AO}. \frac{AE}{EC}. \frac{CB}{DB} & = 1 \\ \frac{DO}{AO}. \frac{1}{5}. \frac{7}{\frac{19}{7}} & = 1 \\ \frac{DO}{AO}. \frac{1}{5}. \frac{49}{19} & = 1 \\ \frac{DO}{AO}. \frac{49}{95} & = 1 \\ \frac{DO}{AO} & = \frac{95}{49} \end{align} $ Sehingga perbandingan AO DO = 49 95. Perbandingan BO OE, $ \begin{align} \frac{EO}{OB}. \frac{BD}{DC}. \frac{CA}{AE} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{\frac{19}{7}}{\frac{30}{7}}. \frac{6}{1} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{19}{30}. \frac{6}{1} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{19}{5} & = 1 \\ \frac{EO}{OB} & = \frac{5}{19} \end{align} $ Sehingga perbandingan BO OE = 19 5. Pembuktian dalil Proyeksi Untuk membuktikan dalil proyeksi, kita cukup menggunakan teorema pythagoras. Perhatikan gambar berikut, . Dalil proyeksi segitiga lancip. Misalkan panjang $ CD = p , \, $ maka panjang $ BD = a - p $. . Pada $\Delta$BAD dan $\Delta$CAD masing-masing siku-siku di D sehingga bisa diterapkan pythagoras Segitiga CAD $ AD^2 = b^2 - p^2 \, $ ....persi. Segitiga BAD $ AD^2 = c^2 - a-p^2 \, $ ....persii. Dari persi dan persii, panjang AD sama, sehingga $ \begin{align} c^2 - a-p^2 & = b^2 - p^2 \\ c^2 - a^2 - 2ap + p^2 & = b^2 - p^2 \\ c^2 - a^2 + 2ap - p^2 & = b^2 - p^2 \\ c^2 & = a^2 + b^2 - 2ap \end{align} $ Jadi terbukti persamaan $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ap $. . Dalil proyeksi segitiga tumpul. Misalkan panjang $ BD = p , \, $ maka panjang $ CD = a + p $. . Pada $\Delta$ADB dan $\Delta$ADC masing-masing siku-siku di D sehingga bisa diterapkan pythagoras Segitiga ADB $ AD^2 = c^2 - p^2 \, $ ....persi. Segitiga ADC $ AD^2 = b^2 - a+p^2 \, $ ....persii. Dari persi dan persii, panjang AD sama, sehingga $ \begin{align} b^2 - a+p^2 & = c^2 - p^2 \\ b^2 - a^2 + 2ap + p^2 & = c^2 - p^2 \\ b^2 - a^2 - 2ap - p^2 & = c^2 - p^2 \\ b^2 & = a^2 + c^2 + 2ap \end{align} $ Jadi terbukti persamaan $ b^2 = a^2 + c^2 + 2ap $. Pembuktian panjang garis tinggi dengan luas segitiga Berdasarkan rumus luas segitiga dengan rumus Heron, $ \text{Luas ABC} = \sqrt{ss-as-bs-c} $ . Perhatikan gambar segitiga berikut. . Perhatikan segitiga ABC dengan alas $ BC = a \, $ dan tinggi $ AF = t_a $ $ \begin{align} \text{Luas ABC} & = \frac{1}{2}. \text{alas}. \text{tinggi} \\ \sqrt{ss-as-bs-c} & = \frac{1}{2}. a . t_a \\ t_a & = \frac{2}{a} \sqrt{ss-as-bs-c} \end{align} $ . Perhatikan segitiga ABC dengan alas $ AC = b \, $ dan tinggi $ BD = t_b $ $ \begin{align} \text{Luas ABC} & = \frac{1}{2}. \text{alas}. \text{tinggi} \\ \sqrt{ss-as-bs-c} & = \frac{1}{2}. b . t_b \\ t_b & = \frac{2}{b} \sqrt{ss-as-bs-c} \end{align} $ . Perhatikan segitiga ABC dengan alas $ AB = c \, $ dan tinggi $ CE = t_c $ $ \begin{align} \text{Luas ABC} & = \frac{1}{2}. \text{alas}. \text{tinggi} \\ \sqrt{ss-as-bs-c} & = \frac{1}{2}. c . t_c \\ t_c & = \frac{2}{c} \sqrt{ss-as-bs-c} \end{align} $ Jadi, sudah terbukti panjang garis tinggi yang diminta.

diketahui segitiga abc dengan garis tinggi ad seperti gambar berikut